Z Transform Gleitender Durchschnitt

Einführung in die Filterung.9 3 1 Einführung in die Filterung Im Bereich der Signalverarbeitung beinhaltet das Design von digitalen Signalfiltern den Vorgang, bestimmte Frequenzen zu unterdrücken und andere zu verstärken. Ein vereinfachtes Filtermodell ist, wo das Eingangssignal modifiziert wird, um den Ausgang zu erhalten Signal mit der Rekursionsformel. Die Implementierung von 9-23 ist einfach und erfordert nur Startwerte, dann wird durch einfache Iteration erhalten Da die Signale einen Ausgangspunkt haben müssen, ist es üblich, dies zu fordern und für Wir betonen dieses Konzept, indem wir das machen Folgende Definition. Definition 9 3 Causal Sequence Angesichts der Input-und Output-Sequenzen If und for, die Sequenz wird als causal. Given die Kausalsequenz, ist es einfach, die Lösung zu berechnen 9-23 Verwenden Sie die Tatsache, dass diese Sequenzen sind Kausal. Der allgemeine iterative Schritt ist.9 3 2 Die Grundfilter. Die folgenden drei vereinfachten Grundfilter dienen als Abbildungen. I Zeroing Out Filter, beachten Sie, dass. Ii Aufstieg Filter, beachten Sie, dass. Iii Kombinationsfilter. Die Übertragungsfunktion für diese Modellfilter hat die folgende allgemeine Form. Dort, wo die Z-Transformationen der Ein - und Ausgangssequenzen bzw. im vorigen Abschnitt erwähnt wurden, wurde erwähnt, dass die allgemeine Lösung einer homogenen Differenzgleichung nur stabil ist Wenn die Nullen der charakteristischen Gleichung innerhalb des Einheitskreises liegen. Ähnlich, wenn ein Filter stabil ist, müssen die Pole der Übertragungsfunktion alle innerhalb des Einheitskreises liegen. Vor der Entwicklung der allgemeinen Theorie möchten wir die Amplitudenreaktion untersuchen, wenn die Eingangssignal ist eine lineare Kombination von und Die Amplitudenantwort für die Frequenz verwendet das komplexe Einheitssignal und ist definiert. Die Formel für wird nach einigen einleitenden Beispielen rigoros erklärt. Beispiel 9 21 Angesichts des Filters.9 21 a Show Dass es sich um ein Nullabgleichfilter für die Signale handelt und die Amplitudenreaktion berechnet.9 21 b Berechnen Sie die Amplitudenreaktionen und untersuchen Sie das gefilterte Signal für 9 21 c Berechnen Sie die Amplitudenreaktionen und untersuchen Sie das gefilterte Signal für. Bild 9 Die Amplitudenreaktion für. Figure 9 5 Der Eingang und Ausgang. Bild 9 6 Der Eingang und Ausgang. Explore Lösung 9 21. Beispiel 9 22 Bei der Filter.9 22 a Zeigen Sie, dass es sich um einen Verstärkungsfilter für die Signale handelt und berechnen Die Amplitudenreaktion.9 22 b Berechnen Sie die Amplitudenreaktionen und untersuchen Sie das gefilterte Signal für. Bild 9 7 Die Amplitudenreaktion für. Bild 9 8 Die Eingabe und Ausgabe. Explore Solution 9 22.9 3 3 Die allgemeine Filtergleichung Einer Ordnung Filterdifferenz Gleichung ist überall und sind Konstanten Beachten Sie sorgfältig, dass die Begriffe sind von der Form und wo und, was macht diese Begriffe zeitverzögert Die kompakte Form des Schreibens der Differenz Gleichung ist, wo das Eingangssignal modifiziert wird, um zu erhalten Das Ausgangssignal unter Verwendung der Rekursionsformeln. Der Teil wird Nullsignale ausgleichen und die Signale verstärken. Remark 9 14 Die Formel 9-31 heißt die Rekursionsgleichung und die Rekursionskoeffizienten sind und es zeigt explizit, dass die aktuelle Ausgabe eine Funktion der Vergangene Werte, für die aktuelle Eingabe und die vorherigen Eingaben für Die Sequenzen können als Signale betrachtet werden und sind für negative Indizes null. Mit dieser Information können wir nun die allgemeine Formel für die Übertragungsfunktion definieren. Verwenden Sie die zeitverzögerte Verschiebungseigenschaft für Kausalen Sequenzen und unter Berücksichtigung der z-Transformation jedes Termes in 9-31 erhalten wir. Wir können aus den Summationen herausfassen und dies in einer äquivalenten Form schreiben. Aus Gleichung 9-33 erhalten wir, was zu der folgenden wichtigen Definition führt 9 4 Übertragungsfunktion Die Übertragungsfunktion, die der Ordnungsdifferenzgleichung 8 entspricht, ist gegeben durch. Formula 9-34 ist die Übertragungsfunktion für ein unendliches Impulsantwortfilter IIR Filter Im Sonderfall, wenn der Nenner einheitlich ist, wird er zur Übertragungsfunktion für a Finite-Impuls-Response-Filter FIR-Filter. Definition 9 5 Unit-Sample Response Die Sequenz, die der Übertragungsfunktion entspricht, wird als Unit-Sample-Antwort bezeichnet. Theorem 9 6 Output Response Die Ausgangsantwort des Filters 10, die ein Eingangssignal gegeben hat, Inverse z-Transformation. und in Faltungsform ist es gegeben durch eine andere wichtige Verwendung der Übertragungsfunktion ist zu untersuchen, wie ein Filter beeinflusst verschiedene Frequenzen In der Praxis wird ein kontinuierliches Zeitsignal mit einer Frequenz abgetastet, die mindestens das Doppelte der höchsten Eingang ist Signalfrequenz, um Frequenzumkürzung zu vermeiden, oder Aliasing Das ist, weil die Fourier-Transformation eines abgetasteten Signals periodisch mit Periode ist, obwohl wir dies nicht beweisen werden. Aliasing verhindert eine genaue Wiederherstellung des Originalsignals von seinen Samples. Jetzt kann gezeigt werden Dass das Argument der Fourier-Transformation über die Formel auf den z-Ebene-Einheitskreis abbildet. 9-37, wo die normalisierte Frequenz genannt wird. Folglich ist die am Einheitskreis ausgewertete Z-Transformation auch periodisch, mit Ausnahme der Periode. Definition 9 6 Amplitudenreaktion Die Amplitudenantwort ist definiert als die Größe der Übertragungsfunktion, die am Komplexe Einheitssignal Die Formel ist. 9-38 über das Intervall. Der Grundsatz der Algebra impliziert, dass der Zähler Wurzeln hat, die Nullen genannt werden, und der Nenner hat Wurzeln, die Pole genannt werden. Die Nullen können in konjugierten Paaren auf dem Einheitskreis gewählt werden. Für Stabilität müssen alle Pole drinnen sein Der Einheitskreis und für Weiterhin werden die Pole als reelle Zahlen und oder in konjugierten Paaren gewählt. Dies garantiert, dass die Rekursionskoeffizienten alle reelle Zahlen sind. IIR-Filter können alle polig oder nullpolig sein und Stabilität ist ein Problem für FIR-Filter und alle Null-Filter sind immer stabil.9 3 4 Design von Filtern. In der Praxis wird die Rekursionsformel 10 verwendet, um das Ausgangssignal zu berechnen. Allerdings basiert das digitale Filterdesign auf der obigen Theorie. Man beginnt mit der Auswahl der Position von Nullen und Pole, die dem Filter entsprechen Designanforderungen und Aufbau der Übertragungsfunktion Da die Koeffizienten in real sind, müssen alle Nullen und Pole mit einer imaginären Komponente in konjugierten Paaren auftreten. Dann werden die Rekursionskoeffizienten in 13 identifiziert und in 10 verwendet, um den rekursiven Filter sowohl den Zähler als auch den Nenner zu schreiben Von quadratischen Faktoren mit realen Koeffizienten und möglicherweise ein oder zwei linearen Faktoren mit realen Koeffizienten berücksichtigt werden können. Folgende Prinzipien werden verwendet, um zu konstruieren. I Zeroing Out Factors. To Filter aus den Signalen und verwenden Sie Faktoren der Form. in der Zähler von Sie werden zum Begriff beitragen. Ii Verstärkung der Faktoren. Um die Signale zu verstärken und die Faktoren des Formulars zu verwenden. Signalverarbeitung Digitale Filter. Digital-Filter sind von essentiell abgetasteten Systemen Die Eingangs - und Ausgangssignale werden durch Samples mit gleicher Distanz dargestellt. Finite Implulse Response FIR-Filter sind charakterisiert Um eine Zeitantwort, die nur von einer gegebenen Anzahl der letzten Abtastwerte des Eingangssignals abhängt. Anders ausgedrückt, sobald das Eingangssignal auf Null gefallen ist, wird das Filterausgang nach einer vorgegebenen Anzahl von Abtastperioden gleich sein. Der Ausgang yk wird gegeben Durch eine lineare Kombination der letzten Eingangsabtastwerte xk i. Die Koeffizienten bi geben das Gewicht für die Kombination an Sie entsprechen auch den Koeffizienten des Zählers der z-Domain-Filterübertragungsfunktion. Die folgende Abbildung zeigt ein FIR-Filter der Ordnung N 1 Für lineare Phasenfilter sind die Koeffizientenwerte um die mittlere symmetrisch und die Verzögerungsleitung kann um diesen Mittelpunkt zurückgeklappt werden, um die Anzahl der Multiplikationen zu reduzieren. Die Übertragungsfunktion der FIR-Filter gibt nur einen Zähler an. Dies entspricht einem All-Null-Filter. FIR-Filter erfordern in der Regel hohe Aufträge, in der Größenordnung von mehreren hundert So die Wahl dieser Art von Filtern benötigen eine große Menge an Hardware oder CPU Trotz dieser, ein Grund, eine FIR-Filter-Implementierung zu wählen ist die Fähigkeit Um eine lineare Phasenreaktion zu erreichen, was in manchen Fällen eine Voraussetzung sein kann. Dennoch hat der Fiter-Designer die Möglichkeit, IIR-Filter mit einer guten Phasenlinearität im Durchlaßband, wie Bessel-Filter, zu wählen oder ein Allpass-Filter zur Korrektur der Phase zu entwerfen Antwort eines Standard-IIR-Filters. Moving Average Filter MA Edit. Moving Durchschnittliche MA-Modelle sind Prozess-Modelle in der Form. MA-Prozesse ist eine alternative Darstellung von FIR-Filter. Average Filter Edit. Filter Berechnung der Durchschnitt der N letzten Samples von a Signal. Es ist die einfachste Form eines FIR-Filters, wobei alle Koeffizienten gleich sind. Die Übertragungsfunktion eines Durchschnittsfilters ist gegeben durch. Die Übertragungsfunktion eines Durchschnittsfilters hat N gleich beabstandete Nullen entlang der Frequenzachse DC wird durch den Pol des Filters maskiert. Daher gibt es einen größeren Lappen ein Gleichstrom, das für das Filterpassband verantwortlich ist. Cascaded Integrator-Comb CIC Filter Edit. Ein kaskadierter Integrator-Kammfilter CIC ist eine spezielle Technik zur Implementierung von durchschnittlichen Filtern, Serie Die Serienplatzierung der durchschnittlichen Filter erhöht den ersten Lappen bei DC im Vergleich zu allen anderen Lappen. Ein CIC-Filter implementiert die Übertragungsfunktion von N durchschnittlichen Filtern, die jeweils den Durchschnitt der RM-Abtastwerte berechnen. Die Übertragungsfunktion ist also gegeben durch. CIC-Filter sind Verwendet, um die Anzahl der Abtastwerte eines Signals um einen Faktor R zu dezimieren, oder in anderen Fällen, um ein Signal mit einer niedrigeren Frequenz wiederzugeben, wobei R & sub1; Proben aus R weggeworfen werden. Der Faktor M gibt an, wieviel des ersten Lappens verwendet wird Durch das Signal Die Anzahl der mittleren Filterstufen, N gibt an, wie gut andere Frequenzbänder gedämpft werden, auf Kosten einer weniger flachen Übertragungsfunktion um DC. Die CIC-Struktur erlaubt es, das gesamte System mit nur Addierern und Registern zu implementieren, ohne irgendwelche zu verwenden Multiplikatoren, die in Bezug auf Hardware gierig sind. Downsampling um einen Faktor R erlaubt es, die Signalauflösung durch log 2 RR Bits zu erhöhen. Kanonische Filter Edit. Kanonische Filter implementieren eine Filterübertragungsfunktion mit einer Anzahl von Verzögerungselementen gleich der Filterreihenfolge, Ein Multiplikator pro Zählerkoeffizient, ein Multiplikator pro Nennerkoeffizient und eine Reihe von Addierern Ähnlich wie bei aktiven kanonischen Strukturen hat diese Art von Schaltungen sehr empfindlich gegenüber Elementwerten eine kleine Änderung der Koeffizienten eine große Wirkung auf die Übertragungsfunktion. Auch hier hat sich der Entwurf der aktiven Filter von kanonischen Filtern zu anderen Strukturen wie Ketten von zweiter Ordnung Abschnitten oder Leapfrog-Filter verschoben. Chain of Second Order Sections Edit. A zweiter Ordnung Abschnitt oft als biquad implementiert eine zweite Bestellung Transfer-Funktion Die Übertragung Funktion eines Filters kann in ein Produkt von Übertragungsfunktionen aufgeteilt werden, die jeweils einem Paar von Pole zugeordnet sind, und möglicherweise ein Paar von Nullen Wenn die Übertragungsfunktion s Ordnung ungerade ist, dann muss ein erster Auftragsteil der Kette hinzugefügt werden. Dieser Abschnitt ist Assoziiert mit dem realen Pol und der realen Null, wenn es eine. direkt-Form 1.direkt-Form 2.direkt-Form 1 transponiert. direkt-Form 2 transponiert. Die Direktform 2 transponiert der folgenden Figur ist besonders interessant In Bezug auf die erforderliche Hardware sowie Signal - und Koeffizienten-Quantisierung. Digitaler Leapfrog-Filter Edit. Filter-Struktur Edit. Digital-Leapfrog-Filter basieren auf der Simulation von analogen aktiven Leapfrog-Filtern Der Anreiz für diese Wahl ist es, von den hervorragenden Passband-Empfindlichkeitseigenschaften der Original-Leiter-Schaltung. Der folgende 4. Ordnung All-Pol-Tiefpass-Leapfrog-Filter. Es kann als digitale Schaltung durch den Austausch der analogen Integratoren mit Akkumulatoren implementiert werden. Replacing der analogen Integratoren mit Akkumulatoren entspricht der Vereinfachung der Z-Transformation zu z 1 s T, die Sind die beiden ersten Terme der Taylor-Reihe von Zexps T Diese Näherung ist gut genug für Filter, bei denen die Abtastfrequenz viel höher ist als die Signalbandbreite. Transfer-Funktion Edit. Die Zustandsraumdarstellung des vorangehenden Filbes kann wie folgt geschrieben werden Gleichung gesetzt, kann man die A-, B-, C-, D-Matrizen schreiben. Aus dieser Darstellung können Signalverarbeitungswerkzeuge wie Octave oder Matlab erlauben, den Frequenzfilter des Filters zu zeichnen oder seine Nullen und Pole zu untersuchen. Im digitalen Leapfrog-Filter , Setzen die relativen Werte der Koeffizienten die Form der Übertragungsfunktion Butterworth Chebyshev, während ihre Amplituden die Cutoff-Frequenz festlegen. Alle Koeffizienten teilen um einen Faktor von zwei Verschiebungen die Cutoff-Frequenz um eine Oktave auch einen Faktor von zwei. Ein Sonderfall ist Der Buterworth 3. Filter, der Zeitkonstanten mit relativen Werten von 1, 1 2 und 1 hat. Dadurch kann dieser Filter in Hardware ohne Multiplikator implementiert werden, aber mit Verschiebungen stattdessen. Autoregressive Filter AR Edit. Autoregressive AR Modelle sind Prozess Modelle in der Form. Wo un ist die Ausgabe des Modells, xn ist die Eingabe des Modells, und un - m sind vorherige Samples des Modellausgabewertes Diese Filter werden autoregressiv genannt, da Ausgangswerte auf der Grundlage von Regressionen des vorherigen berechnet werden Ausgangswerte AR-Prozesse können durch einen Allpol-Filter dargestellt werden. ARMA-Filter Edit. Autoregressive Moving-Average-ARMA-Filter sind Kombinationen von AR - und MA-Filtern Der Ausgang des Filters wird als Linearkombination sowohl des gewichteten Eingangs als auch des gewichteten Outputs gegeben Sample. ARMA-Prozesse können als digitales IIR-Filter betrachtet werden, wobei sowohl Pole als auch Nullen. AR-Filter in vielen Fällen bevorzugt sind, da sie mit den Yule-Walker-Gleichungen analysiert werden können. MA und ARMA-Prozesse können dagegen analysiert werden Durch komplizierte nichtlineare Gleichungen, die schwer zu studieren und zu modellieren sind. Wenn wir einen AR-Prozeß mit Tap-Weight-Koeffizienten aa Vektor von a, an-1 eine Eingabe von xn und eine Ausgabe von yn haben, können wir die yule-walker-Gleichungen verwenden Dass x 2 die Varianz des Eingangssignals ist Wir behandeln das Eingangsdatensignal als zufälliges Signal, auch wenn es ein deterministisches Signal ist, weil wir nicht wissen, was der Wert sein wird, bis wir es erhalten. Wir können den Yule-Walker ausdrücken Gleichungen wie. Wo R ist die Kreuz-Korrelationsmatrix der Prozessausgabe. Und r ist die Autokorrelationsmatrix der Prozessausgabe. Variance Edit. We können zeigen, dass. Wir können die Eingangssignal-Varianz als. Or, erweitern und ersetzen in Für r 0 können wir die Ausgangsvarianz des Prozesses auf die Eingangsvarianz beziehen. Die Z-Transformation und die fortgeschrittene Z-Transformation wurden unter dem Z-Transformationsnamen von EI Jury im Jahre 1958 in Sampled-Data Control Systems eingeführt. John Wiley Sons Die Idee Die in der Z-Transformation enthalten war, war früher als die Erkennungsfunktion Methode bekannt. Z-Transformation ist ein Platzhalter Name, ähnlich dem Aufruf der Laplace-Transformation der s-Transformation Genauere wäre Laurent-Transformation, weil es auf der Laurent-Serie basiert Die einseitige Z-Transformation ist zu diskreten Zeitbereichssignalen, was die einseitige Laplace-Transformation zu kontinuierlichen Zeitbereichssignalen ist. Die Z-Transformation, wie viele andere integrale Transformationen, kann entweder als einseitige oder zweiseitige Transformation definiert werden. Bilateral Z-Transformation. Die bilaterale oder zweiseitige Z-Transformation eines diskreten Zeitsignals xn ist die Funktion X z, die wie folgt definiert ist. Wobei n eine ganze Zahl ist und z im allgemeinen eine komplexe Zahl ist, wobei A die Größe von ist Z und ist die Winkelfrequenz im Bogenmaß pro Probe. Unilaterale Z-Transformation. In den Fällen, in denen xn nur für n 0 definiert ist, wird die einseitige oder einseitige Z-Transformation definiert. Bei der Signalverarbeitung wird diese Definition verwendet Das Signal ist kausal. Ein wichtiges Beispiel für die einseitige Z-Transformation ist die Wahrscheinlichkeit erzeugende Funktion, bei der die Komponente xn die Wahrscheinlichkeit ist, daß eine diskrete Zufallsvariable den Wert n annimmt und die Funktion X z gewöhnlich als X s in Form von geschrieben wird Sz 1 Die Eigenschaften von Z-Transformationen unten haben nützliche Interpretationen im Kontext der Wahrscheinlichkeitstheorie. Inverse Z-Transformation. Die inverse Z-Transformation ist. wo ist ein gegen den Uhrzeigersinn geschlossener Pfad, der den Ursprung und ganz im Bereich der Konvergenz umgibt. ROC Die Kontur Oder Pfad, muss alle Pole umkreisen. Ein spezieller Fall dieses Konturintegrals, das einfach das ist, wo der Einheitskreis ist und verwendet werden kann, wenn der ROC den Einheitskreis enthält, ist die inverse diskrete Zeit-Fourier-Transformation - Transformieren mit einem endlichen Bereich von n und einer endlichen Anzahl von gleichmäßig beabstandeten z-Werten können effizient über den Bluestein-FFT-Algorithmus berechnet werden. Die diskrete Fourier-Transformations-DFT ist ein Spezialfall einer solchen Z-Transformation, die durch die Einschränkung von z auf der Einheitskreis. Region der Konvergenz. Die Region der Konvergenz ROC ist, wo die Z-Transformation eines Signals hat eine endliche Summe für eine Region in der komplexen Ebene. Example 1 No ROC. Let Expanding auf es wird. Looking an der sum. There Sind keine solchen Werte, die diese Bedingung erfüllen. Beispiel 2 causal ROC. Let wo ist die Heaviside-Schritt-Funktion Expanding on it wird. Looking in der Summe. Die letzte Gleichheit ergibt sich aus der unendlichen geometrischen Reihe und die Gleichheit gilt nur, wenn was sein kann Umgeschrieben in Bezug auf als So ist der ROC in diesem Fall der ROC ist die komplexe Ebene mit einer Scheibe mit dem Radius 0 5 am Ursprung ausgegraben. Example 3 Anticausal ROC. Let wo ist die Heaviside-Schritt-Funktion Expanding on it wird. Looking An der sum. Um die unendliche geometrische reihe wieder, die Gleichheit gilt nur, wenn was umgeschrieben werden kann, als so ist der ROC in diesem Fall die ROC ist eine Scheibe zentriert am Ursprung und von Radius 0 5.Examples Schlussfolgerung. Beispiele 2 3 zeigen deutlich, dass die Z-Transformation eindeutig ist, wenn und nur bei der Angabe des ROC Das Erstellen der Pole-Null-Plot für den ursächlichen und antikausalen Fall zeigt, dass der ROC für jeden Fall nicht den Pol enthält, der bei 0 5 ist Erstreckt sich auf Fälle mit mehreren Pole, die ROC wird niemals Pole enthalten. In Beispiel 2 ergibt das Kausalsystem einen ROC, der einschließt, während das Antibiotikumsystem in Beispiel 3 einen ROC liefert, der Folgendes enthält. In Systemen mit mehreren Pole ist es möglich, einen ROC zu haben Das schließt weder noch das ROC schafft eine kreisförmige Band Zum Beispiel hat Pole bei 0 5 und 0 75 Das ROC wird sein, das weder den Ursprung noch die Unendlichkeit enthält. Ein solches System wird als gemischtes Kausalitätssystem bezeichnet, da es einen Kausalbegriff enthält und Ein Anticausal-Term. Die Stabilität eines Systems kann auch durch das Erkennen des ROC alleine bestimmt werden Wenn das ROC den Einheitskreis enthält, dann ist das System stabil In den obigen Systemen ist das Kausalsystem stabil, weil das Einheitskreis enthalten ist. Wenn Sie bereit sind Eine Z-Transformation eines Systems ohne ein ROC dh eine zweideutige Sie können ein einzigartiges bestimmen, vorausgesetzt, Sie wünschen das folgende. Wenn Sie Stabilität benötigen, dann muss das ROC den Einheitskreis enthalten Wenn Sie ein kausales System benötigen, dann muss das ROC Unendlichkeit enthalten Wenn Sie Braucht ein Antikausal-System, dann muss das ROC den Ursprung enthalten. Das Einzigartige kann dann gefunden werden. Linearität Die Z-Transformation der Linearkombination zweier Signale ist die Linearkombination der einzelnen Z-Transformationen. Verschieben der Zeitverschiebung des Signals um a Abstand von k nach rechts ergibt die Multiplikation der Z-Transformation mit z k. Konvolution Die Z-Transformation der Faltung zweier Sequenzen ist das Produkt der einzelnen Z-Transformationen. Differenzierung. Tabelle der gemeinsamen Z-Transformationspaare.